Grupos - Definição e exemplos

Definimos os seguintes conjuntos de transformações
$$
SO_2=\{\rot{\varphi}\mid 0\leq \varphi< 2\pi\};
$$
$$
O_2=SO_2\cup\{\refl{\varphi}\mid 0\leq \varphi< \pi\};
$$
$$
C_4=\{\rot{i\pi/2}\mid i\in\Z\};
$$
$$
D_4=C_4\cup \{\refl{i\pi/4}\mid i\in\Z\}.
$$
Tem-se que $SO_2$ e $O_2$ sao conjuntos infinitos. No entanto, é fácil verificar que
$$
C_4=\{\rot 0,\rot{\pi/2},\rot{\pi},\rot{3\pi/2}\}
$$
e que
$$
D_4=C_4=\{\refl{0},\refl{\pi/4},\refl{\pi/2},\refl{3\pi/4}\}.
$$
Então $|C_4|=4$ e $|D_4|=8$.

Os conjuntos $SO_2$, $O_2$, $C_4$, $D_4$ têm os seguintes propriedades

1. Todo conjunto de transformações acima é fechado sob composição. Isto é, se $X$ é uns dos conjuntos acima e $x,\ y\in X$, entao $xy\in X$.
2. Os conjuntos acima são fechados sob inverso. Isto é, se $X$ é uns dos conjuntos acima e $x\in X$, então $x$ é uma transformação invertível e $x^{-1}\in X$.
3. Todo conjunto acima contém a transformação identidade que é igual a $\rot 0$.

Motivado por esses exemplos, vamos agora formalizar a definição de grupo.

Seja $X\neq\emptyset$ um conjunto  munido de uma operação. Uma operação sobre $X$ é uma aplicação $f:X\times X\rightarrow X$. Usamos a notação $f(x,y)=x*y$. O par $(X,*)$ é chamado de grupo se

1. A operação é associativa. Ou seja $(x*y)*z=x*(y*z)$ para todo $x,\ y,\ z\in G$.
2. $G$ tem um elemento neutro também chamado de elemento identidade $e$, com a propriedade que $a*e=e*a=a$ para todo $a\in G$.
3. Todo elemento $a\in G$ tem um inverso, ou seja, existe um elemento $b$ tal que $a*b=b*a=e$. Esse $b$ é geralmente denotado por $a^{-1}$.

Alguns exemplos de grupos

1. $(\Z,+)$
2. $(\{M\in\mat n\mid\det M\neq 0\},\cdot)$
3. $(\Q\setminus\{0\},\cdot)$
4. $(\{-1,1\},\cdot)$
5. os conjuntos $SO_2$, $O_2$, $C_4$, $D_4$ munidos da operação de composição.