Seja
$$
\R^n=\{(v_1,\ldots,v_n)\mid v_i\in\R\}.
$$
Vamos considerar elementos de $\R^n$ como vetores linhas. Dada uma matriz $A\in \mat n$ (denotamos por $\mat n$ o conjunto de matrizes $n\times n$), definimos a aplicação
$$
T_A: \R^n\rightarrow \R^n,\quad v\mapsto vA.
$$
A imagem de $v$ sobre $T_A$ vai ser denotada por $vT_A$. Tem-se que $vT_A=vA$. A aplicação $T_A$ é dito transformação linear com matriz $A$. As propriedades principais de transformações lineares estão sumarizados no lema seguinte.
$$
\R^n=\{(v_1,\ldots,v_n)\mid v_i\in\R\}.
$$
Vamos considerar elementos de $\R^n$ como vetores linhas. Dada uma matriz $A\in \mat n$ (denotamos por $\mat n$ o conjunto de matrizes $n\times n$), definimos a aplicação
$$
T_A: \R^n\rightarrow \R^n,\quad v\mapsto vA.
$$
A imagem de $v$ sobre $T_A$ vai ser denotada por $vT_A$. Tem-se que $vT_A=vA$. A aplicação $T_A$ é dito transformação linear com matriz $A$. As propriedades principais de transformações lineares estão sumarizados no lema seguinte.
Sejam $A,\ B\in\mat n$, $u,\ v\in\R^n$ e $\alpha\in\R$. Tem-se
- $(u+v)T_A=uT_A+v T_A$;
- $(\alpha u)T_A=\alpha(uT_A)$;
- $T_I=\mbox{id}$;
- $(0,\ldots,0)T_A=(0,\ldots,0)$;
- $(vT_A)T_B=v T_{AB}$;
- $T_A$ é invertível se e só se $A$ é invertível (se e só se $\det A\neq 0$). Neste caso $(T_A)^{-1}=T_{A^{-1}}$.
A demonstração das afirmações é fácil usando as propriedades das operações matriciais. Por exemplo em (5)
$$ (v T_A)T_B=(vA)T_B=(vA)B=v(AB)=v T_{AB}. $$
$$ (v T_A)T_B=(vA)T_B=(vA)B=v(AB)=v T_{AB}. $$
As outras afirmações podem ser demonstradas similarmente.
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