Rotações e reflexões

Rotações

Seja $\varphi$ um ângulo. Denotaremos por $\rot\varphi$ a rotação do plano $\R^2$ pela origem com ângulo $\varphi$ no sentido contrário aos ponteiros do relógio. Vamos calcular a forma matricial de $\rot\varphi$.  Seja $v=(v_1,v_2)\in\R^2$. Seja $\alpha$ o ângulo entre o vetor $v$ e o eixo $x$. Seja $v_0$ o vetor unitário na direção de $v$. Então $v$ pode ser escrito como  $$ v=\|v\|v_0=\|v\|(\cos\alpha,\sen\alpha). $$ Se $v'=v\rot\varphi$, então  $$ v'=\|v'\|(\cos(\alpha+\varphi),\sen(\alpha+\varphi))=\|v\|(\cos\alpha\cos\varphi-\sen\alpha\sen\varphi, \sen\alpha\cos\varphi+\cos\alpha\sen\varphi)=\|v\|(\cos\alpha,\sen\alpha) \begin{pmatrix} \cos\varphi & \sen\varphi\\ -\sen\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}. $$ Obtemos então que a rotação $\rot\varphi$ é uma transformação linear com matriz $$ A_\varphi=\begin{pmatrix} \cos\varphi & \sen\varphi\\ -\sen\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}. $$ Como $\det A_\varphi=\cos^2\varphi+\sen^2\varphi=1$, a transformação $\rot\varphi$ é invertível e claramente $(\rot\varphi)^{-1}=\rot{-\varphi}$.

Temos que

1. $\rot\varphi\rot\psi=\rot{\varphi+\psi}$;
2. $\rot 0=\mbox{id}$;
3. $(\rot\varphi)^{-1}=\rot{-\varphi}$.

Afirmação 2 é clara e afirmação 3 segue do argumento acima. Provamos afirmação 1. Seja $v\in\R^2$, $$v\rot\varphi\rot\psi=v \begin{pmatrix} \cos\varphi & \sen\varphi\\ -\sen\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\psi & \sen\psi\\ -\sen\psi & \cos\psi \end{pmatrix} =v \begin{pmatrix} \cos\varphi\cos\psi-\sen\varphi\sen\psi & \cos\varphi\sen\psi+\sen\varphi\cos\psi\\ -\cos\varphi\sen\psi-\sen\varphi\cos\psi & \cos\varphi\cos\psi-\sen\varphi\sen\psi \end{pmatrix}= v \begin{pmatrix} \cos(\varphi+\psi) & \sen(\varphi+\psi)\\ -\sen(\varphi+\psi) &\cos(\varphi+\psi) \end{pmatrix}=v\rot{\varphi+\psi}. $$

Reflexões

Consideramos a reflexão pelo eixo que passe pela origem e tem ângulo $\varphi$ com o eixo $x$. Denotamos essa reflexão por $\refl\varphi$. Dado $v=(v_1,v_2)\in\R^2$, seja $\alpha$ o ângulo de $v$ com o eixo $x$, e temos que  $$ v\refl\varphi=v\rot{-2(\alpha-\varphi)}=v\rot{-2\alpha}\rot{2\varphi}=(v_1,-v_2)\rot{2\varphi}= (v_1,v_2) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos 2\varphi & \sen 2\varphi\\ -\sen 2\varphi & \cos 2\varphi \end{pmatrix}= v\begin{pmatrix} \cos 2\varphi & \sen 2\varphi\\ \sen 2\varphi & -\cos 2\varphi \end{pmatrix}. $$ Obtemos então que $\refl\varphi$ é uma transformação linear com a matriz  $$ B_\varphi=\begin{pmatrix} \cos 2\varphi & \sen 2\varphi\\ \sen 2\varphi & -\cos 2\varphi \end{pmatrix}. $$ Como $\det B_\varphi=-\cos^22\varphi-\sen^22\varphi=-1$, a transformação $\refl\varphi$ é invertível. De fato, $$ \begin{pmatrix} \cos 2\varphi & \sen 2\varphi\\ \sen 2\varphi & -\cos 2\varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos 2\varphi & \sen 2\varphi\\ \sen 2\varphi & -\cos 2\varphi \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},  $$ que implica que $(\refl\varphi)^{-1}=\refl\varphi$.

Composição de reflexões e rotações

Já vimos que a composição de 2 rotações é uma rotação. No entanto, a composição de 2 reflexões não é geralmente uma reflexão. De fato $$ v\refl\varphi\refl\psi =v\begin{pmatrix} \cos 2\varphi & \sen 2\varphi\\ \sen 2\varphi & -\cos 2\varphi \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos 2\psi & \sen 2\psi\\ \sen 2\psi & -\cos 2\psi \end{pmatrix}= v\begin{pmatrix} \cos 2\varphi\cos 2\psi+\sen 2\varphi\sen 2\psi & \cos 2\varphi\sen 2\psi-\sen 2\varphi\cos 2\psi\\ \sen 2\varphi\cos 2\psi-\cos 2\varphi\sen 2\psi & \sen 2\varphi\sen 2\psi+\cos 2\varphi\cos 2\psi\end{pmatrix}= v\begin{pmatrix} \cos 2(\psi-\varphi) & \sen 2(\psi-\varphi)\\ -\sen 2(\psi-\varphi) & \cos 2(\psi-\varphi). \end{pmatrix}=v\rot{2(\psi-\varphi)}. $$ Obtemos então que a composição de 2 reflexões é uma rotação.

Sejam $\varphi$ e $\psi$ ângulos. Então

1. $\refl\varphi\refl\psi=\rot{2(\psi-\varphi)}$
2. $\rot\varphi\refl\psi=\refl{\psi-\varphi/2}$;
3. $\refl\varphi\rot\psi=\refl{\varphi+\psi/2}$.

Afirmação 1. é consequência do argumento acima. Demonstramos 2. Temos de 1. que $\refl{\vartheta}\refl{\psi}=\rot{2(\psi-\vartheta)}$. Usando que $\refl{\psi}^{-1}=\refl{\psi}$, obtemos que $\refl{\vartheta}=\rot{2(\psi-\vartheta)}\refl{\psi}$. Agora substituímos $\varphi=2(\psi-\vartheta)$ e $\vartheta=\psi-\varphi/2$ e obtemos 2. A demonstracao de 3. é similar.